1.                          Multiplicación y división de polinomios

MULTIPLICACIÓN

Multiplicación:

Operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando” y “multiplicador” dan como resultado un “producto”. Al multiplicando y multiplicador se les denomina “factores”.

La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera  cantidad

Por ejemplo:

 (9)*(5) =  9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45  o bien     (9)*(5) = 5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 45

ELEMENTOS DE UNA MULTIPLICACIÓN

                                                                            

FACTORES: Son las cantidades que se multiplican

PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

Regla de los signos:
(+)(+) = +	(-)(+) = -
(+)(-) = -	(-)(-) = +

 

Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

 

En la multiplicación de bases iguales, los exponentes se suman:

En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:

•  Multiplicación de un monomio por un monomio
  
• Multiplicación de un polinomios por un monomio
• Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Multiplicación de un:	Procedimiento:	Ejemplo:
Monomio por un monomio	Determinar el signo del producto.  Multiplica los coeficientes numéricos.  Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes
Monomio por un polinomio	Se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; es decir se multiplica cada término del polinomio por el monomio.
Polinomio por un polinomio	Cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada uno de los términos del segundo polinomio y después se deben agrupar los términos semejantes, ya que son los que se pueden sumar o restar.

D I V I S I Ó N

 

División:

Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como resultado un “cociente”.

 La división se regula por las siguientes leyes de los signos:

Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

En la división de bases iguales, los exponentes se restan y si el exponente es cero, recuerda que todo número o expresión elevada a la potencia cero es igual a la unidad (1)

 Por ejemplo: 

ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN

 Con respecto a la división y en relación con los polinomios distinguiremos tres casos:

División de un:	Procedimiento:	Ejemplo:
Monomio entre un monomio	Determinar el signo del cociente   Dividir los coeficientes numéricos.   Aplicar las leyes de los exponentes correspondientes
Polinomio entre monomio	Se utiliza la propiedad distributiva de la división, Se divide cada término del polinomio entre el monomio y se suman o restan según sea el caso los cocientes obtenidos.
Polinomio entre polinomio	Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente  Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.  Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.  Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres hasta que el resultado sea cero o de menor exponente que el divisor.

 

Vídeos

      Volumen de una esfera

Una esfera es un conjunto de puntos en el espacio que están a una distancia dada r del centro.

El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (pulg ³ , pies ³ , cm ³ , m ³ , etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular el volumen.

El volumen V de una esfera es cuatro tercios por pi por el radio al cubo.

El volumen de una semiesfera es un medio del volumen de esfera relacionada.

Nota: El volumen de una esfera es 2/3 del volumen de un cilindro con el mismo radio, y altura igual al diámetro.

Ejemplo:

Encuentre el volumen de una esfera. Redondee al metro cúbico más cercano.

Solución

La fórmula para el volumen de una esfera es

De la figura, el radio de la esfera es de 8 m.

Sustituya 8 por r en la fórmula.

Simplifique.

Por lo tanto, el volumen de la esfera es de alrededor de 2145 m ³.

  

 Área de un polígono regular

     Inecuaciones Lineales

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.

Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de x para los cuales se cumple la desigualdad.

Consideremos el punto x=3 en la recta real.

Este punto es frontera entre x<3 y x > 3. Es decir, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple x < 3, la gráfica incluirá todos los puntos que están a la izquierda de 3. De igual forma, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple x > 3, la gráfica incluirá todos los puntos que están a la derecha de 3, como se muestra en la siguiente figura:

De igual forma, x + 1 = 4 es frontera entre x + 1 < 4 y x + 1 > 4 y, en general, a x + b = c es frontera entre a x + b < c y a x + b > c

 

Método general para resolver inecuaciones lineales

Para resolver una inecuación de la forma: a x + b < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1. Resolver la ecuación a x + b = c para hallar la frontera entre a x + b < c y a x + b > c.
2. Dividir la recta real usando la solución hallada en el paso anterior como frontera.
3. Determinar el intervalo que nos interesa. Es decir, para el cual la desigualdad es cierta.
4. Escribir la solución. La solución se puede expresar de distintas formas:
• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x + 1 < 4

Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación x + 1 = 4. x+1 = 4 x+1 -1 = 4 -1 x = 3
Paso 2: Dividir la recta real usando x=3 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
x+1 < 4 0 +1 < 4 1 < 4 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.	x+1 < 4 4 +1 < 4 5 < 4 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la izquierda de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto: x x < 3 Expresando la solución como intervalo ( - ∞ , 3 ) Gráficamente

 

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 6 x - 4 ≤ 2 + 8 x

Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación 6 x - 4 = 2 + 8 x . 6 x - 4 = 2 + 8 x 6 x - 4 + 4 - 8 x = 2 + 8 x + 4 - 8 x - 2 x = 6 - 2 x - 2 = 6 - 2 x = - 3
Paso 2: Dividir la recta real usando x=-3 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
6 x - 4 ≤ 2 + 8 x 6 ( - 4 ) - 4 ≤ 2 + 8 ( - 4 ) - 28 ≤ - 30 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.	6 x - 4 ≤ 2 + 8 x 6 ( - 2 ) - 4 ≤ 2 + 8 ( - 2 ) - 16 ≤ - 14 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la derecha de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto: x x ≥ - 3 Expresando la solución como intervalo [ - 3 , ∞ ) Gráficamente

1.                                                 Probabilidad clásica

La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la probabilidad de un evento. Se define como el cociente entre los eventos favorables a dicho evento y el total de eventos posibles, con la condición de que cada uno de estos eventos sean todos igualmente probables. A la probabilidad clásica también se la conoce como probabilidad a priori o probabilidad teórica.

 

Cálculo en probabilidad clásica

Esta forma de calcular la probabilidad de un evento es una aplicación de la regla de Laplace, enunciada inicialmente en 1812 por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827).

Ejemplo

Ejercicio

Se lanza una vez un dado. Calcular las siguientes probabilidades:

a) Sacar un número impar.

b) Que salga un 2 o un 5.

c) Sacar un valor menor que 4.

d) Obtener un valor menor o igual que 4.

e) Sacar un valor diferente de 3

Solución a

El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, los valores impares son 1, 3 y 5, por lo tanto de 6 casos posibles, hay tres casos favorables:

P (impar) = 3/6 =1/2 = 0.5

Solución b

Queremos extraer un 2 o un 5, es decir, cualquiera de estos casos es favorable, por lo tanto:

P (2 o 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Solución c

En este caso hay 3 eventos favorables: sacar 1, 2 o 3:

P (menor que 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Solución d

Acá hay un evento favorable adicional, porque nos piden los valores menores o iguales que 4, entonces:

 P (valor menor o igual que 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Solución e

Un lanzamiento diferente de 3, significa que salió cualquiera de los otros valores:

 

1.      Probabilidad clásica